Annoter l’article Courbe polygone de l’Encyclopédie

Après l’article COURBE, que j’avais annoté et présenté au séminaire ENCCRE il y a plus de trois ans maintenant, j’expose aujourd’hui (12 novembre 2021) dans ce même séminaire mes annotations et mon dossier critique de l’article COURBE POLYGONE, qui occupe quatre colonnes et demie, entre les pages 387 et 389 du volume IV1

Ce travail d’annotation a bénéficié de manière substantielle de la relecture très précise et experte de Christian Gilain, ce qui justifie la mention placée en tête du dossier critique. C’est par ailleurs un article dans lequel Christian et moi-même avons repéré, en sus de plusieurs coquilles non corrigées dans les Errata, de nombreuses erreurs de transcription2, corrigées au moment de la publication des annotations, ce qui rappelle l’importance d’une relecture très attentive de cette transcription au moment de commencer le travail d’édition critique d’un article.

Courbe polygone ?

Pour bien commencer, voilà une représentation possible de ce que vous devez vous figurer comme étant une “courbe polygone” (expression presque oxymorique !) : elle est tirée non des planches de l’Encyclopédie, mais de la première planche de l’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes publiée en 1696 par le Marquis de L’Hôpital, référence sur le sujet parmi les géomètres français du premier XVIIIe siècle.

Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, L’Hôpital, 1696, planche I

La courbe est assimilée à une suite continue de segments infiniment petits (imaginez qu’on a ici très fortement zoomé autour du point M, et que le point m lui soit infiniment proche). La droite Mm ici dessinée est d’ailleurs assimilée à la tangente au point M de la courbe. Voici comment L’Hôpital définit une courbe polygone :

On demande qu’une ligne courbe puisse être considérée comme l’assemblage d’une infinité de lignes droites, chacune infiniment petite ; ou (ce qui est la même chose) comme un poligône d’un nombre infini de côtés, chacun infiniment petit, lesquels déterminent par les angles qu’ils font entr’eux, la courbure de la ligne.

Je dois dire que j’ai été beaucoup moins à l’aise sur cette entrée Courbe polygone que sur l’article COURBE annoté quelques mois auparavant, car elle traite de sujets qui me sont moins familiers (pour faire simple, le calcul différentiel et intégral pour l’étude des courbes mécaniques, et ses applications à la mécanique) mais j’ai pu m’appuyer, j’espère sans trop les trahir, sur les expertises de Christian Gilain et de Christophe Schmit, ce dernier étant l’auteur de textes précieux pour la compréhension de cet article portant sur les évaluations analytiques des forces centrales en mécanique par Varignon utilisant l’approximation d’une courbe rigoureuse par une courbe polygone (notamment cet article, paru dans la Revue sur Diderot et sur l’Encyclopédie, en 2011, intitulé “Les articles de mécanique de l’Encyclopédie, ou D’Alembert lecteur de Varignon”).

Auteur et rédaction

Pas de difficulté pour identifier formellement l’auteur de l’article, puisqu’il porte la signature (O) de D’Alembert, ce qui permet également de l’identifier formellement comme auteur de l’article COURBE qui le précède immédiatement, en vertu du nota bene de l’Avertissement du premier volume :

Lorsque plusieurs articles appartenant à la même matiere, & par conséquent faits ou revûs par la même personne, sont immédiatement consécutifs, on s’est contenté quelquefois de mettre la lettre distinctive à la fin du dernier de ces articles.

Il y a donc naturellement tout lieu de penser que la rédaction de cette entrée Courbe polygone date elle aussi de la fin de l’année 1750 au plus tard (comme je l’ai établi dans le dossier critique de l’article COURBE).

Il faut remarquer ici que D’Alembert choisit de couper la traduction de l’article CURVE de la Cyclopædia de Chambers entamée dans l’article COURBE qui le précède immédiatement pour introduire, au moyen d’une vedette d’entrée (la première d’une série de neuf, dont seules les trois premières sont relatives aux mathématiques), cette notion de courbe polygone (sur deux paragraphes seulement), avant de reprendre le cours de sa traduction, puis de proposer quelques prolongements originaux sur les interpolations, les courbes à double courbure et les surfaces courbes.

Ce choix m’a étonné, puisqu’il marque une rupture nette dans le déroulé de l’article COURBE, alors qu’il aurait sans doute été possible d’y introduire les courbes polygones au moyen d’une simple section, avant de poursuivre la traduction de l’article de Chambers. Témoin de cette rupture, par exemple, la bibliographie présentée dans la paragraphe 14, qui est proposée par D’Alembert et ne se trouve pas dans la Cyclopædia, vient manifestement lister des références en appui des développements de l’article COURBE et concerne effectivement les courbes dans leur ensemble, pas uniquement les courbes polygones ni même les courbes mécaniques. Je ne sais pas encore si on peut trouver d’autres exemples de ce type d’insertion dans la nomenclature de l’Encyclopédie. Retenons en tous cas cette chose importante : les deux articles peuvent et doivent être lus ensemble, afin de percevoir leur continuité et leur cohérence globale, malgré cette rupture.

Plan de l’article

L’article commence par deux paragraphes originaux, les seuls concernant directement la notion de courbe polygone, qui renvoie a priori à une conception leibnizienne des courbes, popularisée par le Marquis de l’Hôpital dans son Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes publiée en 1696. Dans les paragraphes 3 à 13, D’Alembert reprend et poursuit la traduction de l’article CURVE de la Cyclopædia de Chambers entamée dans l’article COURBE, avant de donner au lecteur la liste des « meilleurs ouvrages dans lesquels on puisse s’instruire de la théorie des courbes » (§ 14). Enfin, après quelques considérations sur les courbes mécaniques et l’interpolation d’une courbe irrégulière ou mécanique par une courbe parabolique (§ 15-18), l’article se poursuit en proposant quelques développements nouveaux sur les courbes à double courbure (§ 19-21) et les surfaces courbes (§ 22-23), avant de se conclure sur une section concernant la construction des équations différentielles par le moyen des quadratures de courbes.

Il est intéressant de visualiser ce qui relève, dans ce double article COURBE-Courbe polygone, de la simple traduction de l’article CURVE de Chambers (en blanc), ou d’une production originale de D’Alembert (en vert, les paragraphes signalés en jaune étant des versions modifiées par D’Alembert des contenus de Chambers) :

Il y a beaucoup de remarques à faire au fil de la lecture de l’article, sur des éléments de contexte, des sources et des références plus ou moins directement identifiables, des coquilles, des problématiques de traduction : je vous renvoie aux notes publiées sur l’ENCCRE pour en prendre connaissance.

Enjeux de l’article

Je distingue trois enjeux particuliers à cet article, d’importance décroissante : les courbes vues comme polygones infinitangles, les courbes mécaniques et la construction des équations différentielles, et enfin l’introduction de la troisième dimension spatiale. Je ne vais parler ici que du premier, le reste est lisible dans le dossier critique.

La notion de courbe polygone trouve son origine dans le calcul différentiel leibnizien dès la fin du XVIIIe siècle, et est popularisée en France par Guillaume de L’Hôpital dans son Analyse des infiniment petits, cette vision de la courbe comme polygone infinitangle permettant, en particulier, d’en déterminer facilement la courbure ou les tangentes, comme exposé dès la seconde page de la préface de son ouvrage (que l’on attribue généralement à Fontenelle) :

Car les courbes n’étant que des polygones d’une infinité de côtés, & ne différant entr’elles que par la différence des angles que ces côtés infiniment petits font entr’eux ; il n’appartient qu’à l’Analyse des infiniment petits de déterminer la position de ces côtés pour avoir la courbure qu’ils forment, c’est-à-dire les tangentes de ces courbes, leurs perpendiculaires, leurs points d’infléxion ou de rebroussement, les rayons qui s’y réfléchissent, ceux qui s’y rompent, &c.

Dans l’Application de l’algebre a la geometrie de Guisnée, dont on connaît l’importance dans l’apprentissage mathématique du jeune D’Alembert3, et qui cité dans cet article, il est précisé : « Il y a même des Courbes méchaniques dont on ne connoît que certaines proprietez, d’où l’on ne peut tirer d’équations en termes finis. Il faut alors avoir recours à l’infini, en regardant les Courbes comme des Polygones d’une infinité de côtez » (p. 234). Dans les Recherches sur les courbes a double courbure de Clairaut, la section 2 relative à l’usage du calcul différentiel pour le calcul des tangentes débute par ce rappel : « On conçoit ici une courbe à double courbure AN, comme composée d’une infinité de petits côtez Nn, de même qu’une courbe qui seroit décrite sur un plan » (p. 40).

D’Alembert introduit donc cette entrée pour présenter cette notion bien implantée dans les travaux des géomètres français du début du XVIIIe siècle, fortement liée au calcul des infiniment petits, et utile à l’étude des courbes mécaniques. Néanmoins il ne s’inscrit pas dans cette tradition des infiniment petits, mais plutôt dans la tradition newtonienne en ce qui concerne le calcul différentiel et intégral. Pour preuve, il ne reprend pas la deuxième « demande ou supposition » de L’Hôpital dans son Analyse des infiniment petits selon laquelle une ligne courbe peut être considérée « comme un poligône d’un nombre infini de côtés, chacun infiniment petit » (p. 3). Au contraire, pour être rigoureux, D’Alembert donne de cette notion, dans les deux premiers paragraphes de cet article, une interprétation en termes de limite de polygones finis :

C’est ainsi que dans la géométrie de l’infini on considere les courbes ; ce qui ne signifie autre chose, rigoureusement parlant, sinon qu’une courbe est la limite des polygones, tant inscrits que circonscrits.

Pour étayer cet argument, je cite ici un article signé Jeanne Peiffer, paru en 1989 dans la Revue d’histoire des sciences et intitulé Leibniz, Newton et leurs disciples qui écrit :

L’approximation polygonale des courbes est le principe fondamental de L’Analyse des infiniment petits (1696) de L’Hôpital. Guidé par une forte intuition géométrique, celui-ci considère exclusivement des « différences », c’est-à-dire des différences infiniment petites entre les valeurs successives d’une variable définie sur une courbe. Si le manuel de L’Hôpital se situe entièrement dans la tradition leibnizienne, les Eclaircissemens sur l’Analyse des infiniment petits de Varignon (7), rédigés entre 1696 et 1706, mais publiés à titre posthume en 1725, constituent, bien qu’ils ne se présentent que comme simples compléments du traité de L’Hôpital, une rupture. En effet, avec Varignon, les processus newtoniens des quantités évanouissantes envahissent les conceptions leibniziennes et transforment l’appréhension des techniques de l’infini. C’est du contact entre deux traditions différentes que jaillit ici le progrès.

https://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1989_num_42_3_4150, p 306

Varignon, est ainsi conduit à assimiler les différences leibniziennes aux fluxions newtoniennes. D’Alembert étant un lecteur assidu de Varignon (comme l’a montré Christophe Schmit dans cette étude sur les articles de mécanique de D’Alembert), on ne sera donc pas étonné de retrouver cet “envahissement par les procédés newtoniens des quantités évanouïssantes” dans cet article sur les courbes polygones. On peut donc sans doute affirmer – et je remercie ici mon relecteur attentif et précis, Christian Gilain, d’avoir précisément mis en évidence cela lors de sa relecture, alors que j’étais passé un peu à côté – que D’Alembert introduit cette entrée Courbe polygone davantage pour en corriger la définition et mettre en garde sur les erreurs à laquelle elle peut conduire dans les applications mécaniques que pour son apport réel au traitement nécessaire à l’étude des courbes mécaniques.

Revenons un instant sur ce problème : D’Alembert insiste fortement sur la différence entre courbe rigoureuse et courbe polygone. et renouvelle ainsi dans l’Encyclopédie l’avertissement déjà adressé au lecteur de son Traité de dynamique, qu’il réitère dans les articles Calcul différentiel (t. IV, 1754, p. 985a–988a), CENTRAL, (Méchanique.) (t. II, 1752, p. 822a–824a), Forces accélératrices (t. VII, 1757, p. 116b–118b) et Forces centrales & centrifuges (t. VII, 1757, p. 118b–120a) . Il s’agit de faire attention à la différence entre la courbe “rigoureuse” elle-même, décrivant la trajectoire d’un mobile, et son approximation polygonale, dans les calculs d’évaluation des forces centrales. Voici ce qu’il écrivait dans son Traité de dynamique (p. 21-22), avec la même référence à l’Histoire de l’académie, à comparer avec le texte de l’article :

Il faut, au reste, bien prendre garde à cette distinction des Courbes polygones et des Courbes rigoureuses, dans l’estimation des effets des forces accélératrices & dans la comparaison de ces effets entr’eux. Si un des effets est calculé dans l’hypothese de la Courbe rigoureuse, il faut calculer l’autre dans la même hypothese ; autrement on courroit risque de faire le rapport des forces, c’est-à-dire de leurs effets, double de ce qu’il est réellement. Voyez l’Hist. de l’Acad. de 1722.

Le fond du problème est le mélange de deux modèles d’approximation de la courbe pour le calcul de la déviation – c’est-à-dire de l’espace entre la courbe et sa tangente – pour obtenir l’expression d’une force centrale en fonction du rayon de courbure. Cette « attention nécessaire » avait manqué à Varignon qui a commis cette erreur dans un mémoire écrit en 1701 mais publié en 1704, dans un calcul d’estimation des forces utilisant en même temps deux approximations de courbes, la première étant une ligne polygonale, la seconde un cercle osculateur, erreur qu’il corrigera quelques années plus tard. Le texte de l’Histoire de l’Académie royale des sciences de Paris pour 1722, cité en fin de paragraphe aux côtés du Traité de dynamique, intitulé « Sur les courbes considérées exactement comme courbes, ou comme poligones infinis ». Ce texte contient le résumé d’un mémoire de Varignon dans lequel ce dernier répond à une polémique engagée par le mathématicien italien Guido Grandi à ce sujet, prétexte à rappeler la prudence à adopter dans les calculs lorsque l’on considère tantôt la courbe polygone, tantôt la courbe rigoureuse ; sur les positions de Varignon et de D’Alembert sur le sujet, et sur le fond de la question de l’estimation des forces accélératrices, dont je ne suis pas familier, je vous renvoie à l’article de Christophe Schmit mentionné supra, ou, encore mieux, au chapitre intitulé “Courbes polygones et courbes rigoureuses : expressions analytiques des forces centrales chez Varignon et D’Alembert” des Aventures de l’analyse de Fermat à Borel, Mélanges en l’honneur de Christian Gilain publié en 2012, et que je ferais bien d’ajouter rapidement à la bibliographie de ce dossier critique (Christophe Schmit m’ayant rappelé son existence très récemment).

Correspondances internes à l’Encyclopédie

Voici les renvois identifiés dans cette entrée Courbe polygone, avec leur fréquences d’occurrence :

Limite, Exhaustion, Infini, Différentiel (2), Polygone, Osculateur, Developpée, Acceleration, Central, Descente, Rectification, Inflexion, Quadrature (3), Famille, Exponentiel, Caustique, Diacaustique, Branche, Rebroussement, Cycloïde, Logarithmique, Mechanique, Transcendant, Parabolique, Methode differentielle, Equation, Division, Tangente, Constante, Calcul intégral,
Fonction.

pratiquement tous signés, attribués ou attribuables (Rebroussement) à D’Alembert, à l’exception de l’article Exhaustion (signé La Chapelle).

En ce qui concerne les articles qui eux-mêmes renvoient vers l’entrée Courbe polygone, on ne trouve que trois articles, tous signés de D’Alembert : l’article COURBE lui-même, quelques pages avant : « […] ce qu’on appelle proprement courbe, & qu’on peut regarder comme l’assemblage d’une infinité de petites lignes droites contigues entr’elles à angles infiniment obtus. Voyez plus bas Courbe polygone » ; l’article Forces accélératrices (t. VII, 1757, p. 116b–118b) dont il a été question ci-dessus ; et enfin l’article DIACAUSTIQUE, (Optique & Géomét.) (t. IV, 1754, p. 929a) , sous une variante au pluriel : « Voyez Réfraction & Courbes polygones ».

Une piste intéressante à suivre, mais ambitieuse, serait d’établir une topographie du réseau d’articles écrits par D’Alembert sur les courbes au travers des renvois entre articles, tâche pour laquelle l’appui de logiciels d’analyse de réseaux serait nécessaire.

Suites et métamorphoses de l’Encyclopédie

La définition d’une courbe polygone, donnée dans le paragraphe 1, est reprise telle quelle dans le Grand Vocabulaire françois (t. VII, p. 154) – tout comme les définitions de rectification et de quadrature d’une courbe, ainsi que celle d’une famille de courbes, issues de Chambers. L’entrée est également reprise à l’identique dans l’édition de Lucques (Encyclopédie, édition de Lucques t. IV p. 321-323) et dans la Méthodique (Encyclopédie méthodique. Mathématiques, t. 1, p. 462-465)

Dans l’Encyclopédie d’Yverdon, l’entrée Courbe polygone (t. XII, p. 124-130), par rapport au texte original de D’Alembert dans l’Encyclopédie, est augmentée de deux pages entières (p. 125-127) sur l’usage du triangle analytique. Ce dispositif est une simple adaptation du parallélogramme analytique de Newton proposée par De Gua dans ses Usages de l’analyse de Descartes et très largement exploitée par Cramer dans son Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques. D’Alembert présente sommairement les principes de l’utilisation de ce parallélogramme analytique dans la dernière section de l’article PARALLÉLOGRAMME, en Géométrie (t. XI, 1765, p. 911a–912b). Cet exposé relativement complet de la méthode utilisée par Cramer pour étudier les branches infinies et les points singuliers des courbes algébriques est signé (G.C.) : la coïncidence de ces initiales avec celles de Gabriel Cramer est troublante, mais il s’agit en fait du français Mathieu-Bernard Goudin (1734-1817), astronome et mathématicien français, par ailleurs co-auteur avec Dionis du Séjour d’un Traité des courbes algébriques en 1756. Il y expose en dix points « les propriétés principales des courbes algébriques qui sont données par le triangle analytique exclusivement au calcul différentiel » (position et nature des branches infinies et de leurs éventuelles asymptotes), mais aussi comment l’utiliser pour obtenir un développement en série, empruntant un exemple de courbe d’ordre 7 proposé par Cramer dans son Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques pour illustrer la méthode.

Et maintenant ?

L’annotation de ces deux articles – Courbe et Courbe polygone – était la première étape du travail que je dois mener sur l’annotation des articles relatifs aux courbes dans l’Encyclopédie. Les prochains sur la liste (dans l’ordre alphabétique) sont les articles suivants : ASYMPTOTE, BRANCHE de courbe, INFLEXION, MAXIMUM ou plus grand, PARALLELOGRAMME, REBROUSSEMENT et SERPENTEMENT. Mais il y en a beaucoup d’autres, bien évidemment : je compte pas moins de 175 occurrences du mot “courbe” dans les articles de mathématiques, algèbre, géométrie ou trigonométrie signés ou attribués à D’Alembert et La Chapelle ! Un dossier transversal, qui permettra de regrouper certaines informations et perspectives sur cet ensemble d’articles sur les courbes écrits par D’Alembert, est également envisagé.

  1. Il est bien entendu préférable de découvrir ces annotations et commentaires directement sur l’ENCCRE, à l’adresse http://enccre.academie-sciences.fr/encyclopedie/article/v4-818-1/, mais vous pouvez également télécharger le tout (numérisation des pages, transcription de l’article, notes et dossier critique) sur HAL à l’adresse https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03411139. []
  2. Rappelons à ce sujet que la transcription de l’ENCCRE doit beaucoup au travail collaboratif de transcription effectué par la communauté Wikisource. Récupérée dans son état d’avril 2015 puis convertie en XML-TEI suivant un schéma compatible avec la structure de données de l’édition, cette transcription a fait et continue de faire l’objet de campagnes permettant progressivement de corriger les erreurs restantes et, plus généralement, de la rendre fidèle à l’exemplaire original, premier tirage de l’édition de Paris, sur lequel l’ENCCRE s’appuie (il s’agit, en d’autres termes, de rectifier les écarts existants entre la transcription et l’exemplaire, sachant que la communauté Wikisource a eu recours à un exemplaire hybride, formé de volumes provenant d’éditions différentes). Voir http://enccre.academie-sciences.fr/encyclopedie/politique-editoriale/ . []
  3. Voir l’article Le « Traité de Géométrie » de Varignon et l’apprentissage mathématique du jeune D’Alembert publié dans la RDE en 2005 par Jeanne Peiffer (https://journals.openedition.org/rde/301) par exemple. []

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